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传递函数

我们将经常碰到可以描述为线性时不变系统（LTI）的组件，即：

  • 输入与输出是线性关系
    • \(f(x+y) = f(x) + f(y)\)
    • \(f(a \times x) = a \times f(x)\)
  • 时不变性
    • \(x(t) \rightarrow y(t), x(t+a) \rightarrow y(t+a)\)

对于这样的系统，我们可以使用传递函数将其描述为与频率相关的输入输出关系：

\[ H(s) = \frac{Y(s)}{X(s)} = \frac{N(s)}{D(s)} \]

其中：

  • \(s = \sigma + j\omega\)

    也常作为 \(j\omega\) 或 \(\omega\)

  • \(Y(s)\)：随 \(s\) 变化的输出函数

  • \(X(s)\)：随 \(s\) 变化的输入函数
  • \(N(s)\)：分子多项式
  • \(D{s}\)：分母多项式
  • \(G\)：不随频率变化的常增益

在电路分析中，\(Y\) 和 \(X\) 可以用来指代电压/电流等各种值。

传递函数经常会被用于分析系统的稳定性。关于稳定的定义有多种说法，在此处我们将其定义为：

  • 始终可以保持 LTI 系统特性的传递函数即稳定。

在 \(X(s) = 0\) 或 \(D(s) = 0\) 时，如果 \(\omega \ge 0\)，那么就可能会出现 \(|H(s)| = +\infty\) 的情况；这一现象显然违反了 LTI 的特性，代表函数出现了不稳定。

\(X(s) = 0\) 或 \(D(s) = 0\) 也被称为特征函数，可用于判断函数的稳定性。

常用特征

  • 零点（zero）：当 \(H(s) = 0\) 时，\(s\) 的值为传递函数的零点

  • 极点（pole）：当 \(|H(s)| = +\infty\) 时，\(s\) 的值为传递函数的极点

  • 幅值：\(|H(s)|\)

    常用变换：\(|\frac{1}{a+jb}| = \frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\)

  • 相位：\(Arg(H(s))\)

    常用变换：\(Arg(\frac{1}{a+jb}) = -\arctan\frac{b}{a}\)

传递函数的组合

串联

\[ H(s) = H_{1}(s) \times H_{2}(s) \]

并联

\[ H(s) = H_{1}(s) \pm H_{2}(s) \]

反馈

又称闭环传递函数

\[ H_{L}(s) = \frac{G(s)}{1 \mp G(s)H(s)} \]
  • \(G(s)H(s)\) 被称为开环传递函数
  • 正反馈为负号（\(-\)），负反馈为正号（\(+\)）
  • 通常只使用负反馈，因此特征函数部分常被简写为 \(1 + G(s)H(s)\)

常用图表

伯德图/波特图（Bode plot）

注意

伯德图在工程上的使用较多，但并不能作为稳定性的绝对判断依据，需使用奈奎斯特图。

即增益与相位分别随频率变化的图表，常使用半对数坐标图（频率横轴为对数，纵轴为线性）进行表示，增益单位为分贝，相位单位为角度。

增益 \(G_{dB} = 20 \log_{10} |H(s)|\)

奈奎斯特图（Nyquist plot）

在极坐标上同时包含增益和相位信息的图表，横轴为实部，纵轴为虚部。以 \(\omega = 0 \to +\infty\) 为顺序，归一化增益为长度，相位为角度进行描点，然后将点按顺序连起来，并按描点顺序标记线条方向。最后将线按照实轴翻转（表示 \(\omega \le 0\) 范围），就变成了完整的奈奎斯特图。

该图表可以通过奈奎斯特稳定性判据来获知闭环系统的稳定性，本质上是将奈奎斯特图映射到了沿 \((0, -\infty j)\)，\((0, +\infty j)\) 到 \((+\infty, 0)\) 形成的被称为奈奎斯特围道的大半圆上，并利用辐角原理判断闭环特征函数的极点数量：

对于闭环传递函数，其特征函数为 \(1 + G(s)H(s) = 0\)：

  • 画出开环传递函数 \(G(s)H(s)\) 的奈奎斯特图
  • 标记 \((-1, 0j)\) 这一个点 > 该点代表增益为 1，相位相反
  • 数一下线条绕过了多少次该点，并设一个数 \(N=0\)，顺时针绕一次就 \(+1\)，逆时针 \(-1\)
    • 如果穿过该点，则无法判断稳定性
  • 标记 \(G(s)H(s)\) 的所有极点，将落在奈奎斯特围道范围内（即正实轴范围）的数量记为 \(P\)

然后根据以下情况得出结论：

\(P + N\) 为闭环传递函数的正实部极点数量

  • \(P + N \neq 0\)
    • 系统不稳定
  • \(P + N = 0\)
    • 系统稳定

另外，在工程上，还可以额外在 \((-1, 0j)\) 这一点上画一个半径为 0.766 的圆（代表 \(45°\) 相位裕度 和 12dB 增益裕度，低于就易不稳定），将这个圆的范围外称为安全区，并根据以下规则得出结论：

  • 线条保持在安全区
    • 系统稳定
  • 线条离开安全区
    • 系统可能不稳定

极点位于虚轴

以该传递函数为例：

\[ H(s) = \frac{1}{s(s+1)} \]

可见其有两个极点：\(-1\) 和 \(0\)，这时需要修改奈奎斯特围道，在 \((0, 0)\) 这一位置从右侧绕一个半径近似 \(0\) 的半圆，从而绕过该极点，使得围道范围内不存在极点（\(P=0\)）。

现在按正常方法画出除 \(\omega = 0\) 外的奈奎斯特图，而 \(\omega = 0\) 的图形为从奈奎斯特图 \(\omega \to -0\) 该点射出，连接 \(\omega \to +0\) 该点，半径为 \(+\infty\) 的圆弧，方向为顺时针。

根据图表，该传递函数的图形不绕过 \((-1, 0j)\)，且围道内不存在极点，因此可判断为稳定。

原点存在多个极点

对于原点存在多个极点的传递函数，其奈奎斯特图会多次绕过 \((-1, 0j)\)，因此作为开环传递函数时皆不稳定，但在闭环中有可能稳定。

示例

参考